“异分母分数加减法之探索规律”案例

教学内容：第八单元《异分母分数加减法》练习课

教学创新类型：教学设计创新

创新点：

1.创造性地使用教材。本课内容取材于教材P82第5题，教材只给出了8道分子是1的异分母分数加减法习题，教师没有轻易放过这看似不起眼的习题，而是对内容进行深入思考和拓展，一般十分钟能够解决的一道习题不惜花费整节课的时间让学生来研究，因为教师相信：磨刀不误砍柴工，教材是用来教的工具，对其深入挖掘和创造性的使用可能会带给学生更多。

2.创造性地进行教学设计。一般的练习课，注重学生对知识的巩固，而本课除了巩固异分母分数加减法的计算，更重要的是给了学生以思维的训练和科学探究精神的启蒙，也提出了新的思考：练习课应该怎样巩固？怎样才能更好地促进学生能力的提升？思想方法的渗透、思维能力的培养应该如何在小学的数学课堂更好的体现？

教学目标：

1.在巩固异分母分数加减发的计算方法的基础上，进一步探索一些特殊的异分母分数加减法中蕴含的规律。

2.使学生经历完整的探索过程，感受猜想、验证、类比等数学思想方法，提高学生数学素养。

3.在学习活动重进一步感受数学学习过程的探索性，使学生得到科学研究方法的启蒙，获得成功的乐趣和体验，增强学习数学的信心。

教学内容与步骤：

一、导入，热身

师：我们已经学习了异分母分数的加减法，现在请同学们小试身手，一起来完成下面的几道题。

出示计算题，学生独立完成后订正。

师：计算异分母分数的加减法应该注意些什么？

学生口答。（略）

小结并过渡：对于一般的异分母分数加减法来说，应该都要先通分，然后按照同分母分数相加减的法则进行计算。但有一句话叫做“特殊情况特殊对待”，一些特殊的异分母分数相加减，会不会有一些特殊的手段呢？

（设计意图：通过一般异分母分数加减法导入“特殊情况特殊对待”，引发学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，为后续学习----探究特殊现象作好铺垫。）

二、探究，深入

1.探究分子是1的两个分数相加的规律

课件出示：+ = + = + = + =

师：刚才我们说“特殊的题”，这些题有什么特殊的地方？

生：它们的分子都相同。

生：它们的分子都是1。

生：它们的分母是互质数。

师：同学们很善于观察。那么，你能用学过的方法很快算出结果吗？

生：（齐答）能！

学生计算后一一汇报结果。（略）

师：现在再来看这些等式，你又有什么发现？

学生观察、思考。

生：我发现+ = ,2+3=5,2×3=6。

师：有意思。其它的式子也有这个现象吗？

生：+= ,4+7=11,4×7=28;+= ,6+11=17,6×11=66;+ = ,5+9=14,5×9=45。（师随学生回答一一以课件出示）

师：刚才同学们发现了一个有趣的现象：在这四道题中，它们的和的分子都是两个加数的分母的和，和的分母是两个加数分母的积。也就是说，如果用和 来表示这里的两个加数的话，我们刚才的这个发现可以表述为 ——

生：+ = （师以课件相机出示）。

师：那么，A和B可以表示哪些数字呢？是不是除了0之外的所有自然数都可以？换句话说，是不是所有的分子是1的两个分数相加都会是这种现象？

生有的说“是”，有的表示“不一定”，大部分同学比较犹疑。

师：同学们非常谨慎。确实，仅仅凭着4个例子就做出这样的结论，未免有点草率。但是，我们不妨把这个发现看作一个猜想。既然是猜想，我们就应该想办法——

生：（齐答）验证！

师：怎么验证呢？

生：我们可以举一些其它的例子，看看是不是也这样。

师：你觉得需要举多少个这样的例子？

生：10个。

生：越多越好。

师：要验证这个猜想，举例确实是越多越好。最好是把所有的例子都举出来。能把所有的例子举完吗？

生：不能。

师：那么我们只能尽可能多的举一些例子了。这样吧，我们两个同学为一组，共同验证一个例子，一个同学用常规的方法计算，另一个同学用今天的这个发现来做，完了之后看看两个人做出来的结果是不是一致，好吗？在验证的时候，也请大家留心一下，看看会不会出现分子是1的两个分数相加，但是结果跟我们的发现不符合的现象。

学生两人合作探究。

师：谁愿意把你的探究结果跟大家说一说？

生汇报验证的结果：绝大部分认为猜想成立。（略）

师：有没有同学在验证的过程中发现了不同的情况？

生：老师，我们这一组的情况不一样。我们用两种方法做出来的答案不一致。

师：哦？说说看。

生：我们验证的是+ ,我用通分的方法算出来是,他用猜想做出来是。

师：诶，出现了“反例”。这样看来，我们的这个猜想还是没有经得起考验……

生：（很惊喜地）老师，还是相等的！不是最简分数，它约分以后也是！

师：哦？在这儿等着呢。真是虚惊一场！我觉得这两位同学的例子举得很好，例题和大部分同学举的例子都是分母互质的，他们却考虑到了分母不互质的情况，使我们的“证据“更加全面了。

师：现在你们认为这个猜想能够成立了吗？

生：能。

（设计意图：通过发现---归纳---猜想---验证“+ = ”，有机渗透数学思想方法，让学生经历思考过程，给学生创设思维发展的空间，给学生以科学探究精神的启蒙，对学生的后续学习和学习能力的提升起激励作用。）

2.探究分子是1的两个分数相减的规律

师：刚才我们是从一些个别的特例中形成了猜想并举例来验证，这是获取结论的一般方法之一。但有时，从已有的结论出发，通过适当的变换、联想，同样能够形成新的猜想，进而获得新的结论。比如说，+ = （着重强调“+”），那么——

生：- = ? （教师课件出示）

师：这个猜想对吗？又该怎样去验证呢？

生：可以像刚才一样，举例验证。

师：那好，还是两个人一组共同验证，不过这一次我们交换一下，刚才用猜想来做的同学这一次用常规的方法来计算，用常规方法的这一次也来尝尝用猜想的滋味。

学生自主验证后汇报。（略）

（设计意图：通过从+ = 已有的结论出发，适当变换、联想，形成新的猜想，进而获得新的结论，再一次渗透数学思想方法----类比，从而再一次经历“猜想---验证”的思考过程，让学生积极主动的探索。）

3.小结巩固，运用规律

出示+ = 和- =

师：其实对+ 和- 进行运算也能得到这个结论。（演示通分运算过程并将两个式子合二为一：± = ）

师：运用这个规律，我们能干些什么呢？

出示习题，学生独立完成后汇报。（略）

课件突出强调最后一题：+ =

师：做这道题时有什么感觉？

生：数字太大了，很难算，约分的时候也很麻烦。

师：用通分的方法来做做看。

生：这样容易多了！

师：所以我们还是要具体情况具体分析，根据题目的实际情况选择合适的做法。一般来说，如果分母互质，用今天发现的规律来做比较简单一些。

三、拓展，延伸

师：今天我们研究是分子是1的分数相加或相减的一些规律，分子是1的分数又叫做——

生：分数单位。

师：它们都是分数单位，或者叫做单位分数。但是又有人把这些分数称之为“埃

及分数”，你们知道是为什么吗？大约在3000多年以前的埃及，人们只使用分子是1的分数。比如说，在我们现在所使用的分数中，当有2个物品要平均分给3个人的时候，每个人可以取得个 。你可以算成 = + 。那么，古埃及的人们，是怎么算的呢？首先，把2个物品分成 4 个，先给每个人1个，剩下的 1个再分成3等分，均分结果，每人分到加的，也就是+ = 。埃及分数产生了大量的问题，其中有很多至今尚未解决，同时每年也在产生新的问题。每年世界各国都有很多人在从事这方面的研究，有兴趣的同学不妨在课后找一找这方面的资料来了解一下。

（设计意图：数学史的引入，丰富了学生的数学知识，给学生的后续学习起到积极的示范作用，让学生体会数学与生活的密切联系，理解数学来源于生活，服务于生活。）

师：在本课即将结束的时候，还有一些问题要留给大家继续探索。如果分子都是2，或者分子都是3的两个分数相加减，又或者说，任意两个分子相同的分数相加或相减，它们的和或差会有什么规律？与我们今天课堂上的发现又会有什么联系？希望大家能运用今天所学的方法对这些问题进行探索。

课件出示：± = ± = …… ± =

（设计意图：课后问题的拓展与延伸，将有趣的数学思想方法渗透到日常教学之中，渗透到孩子们的数学学习之中。从学生的思维角度来说是想让他们到素材中去感悟体验数学问题。）

同行点评：

计算教学中数学思想方法的体现

----略评“异分母分数加减法练习”教学案例

计算的教学，已经成为了一个很古老的话题。申建春老师曾撰文《价值决定方向》，给我以很大的启迪。认真拜读申老师的文章----“计算教学是数学教育的一个组成部分，它的显性功能主要体现在对数的领悟、计算上。如果从发展的角度来看，计算教学的隐性功能体现在数学思维方法上。”“计算教学的思维功能主要体现在如何观察数的特征，发现存在的规律，选择合适的解决途径，提高对数的理解、运用能力。这些内容，不是要开设专门的课时来完成，而是要渗透在每一节课中。重视计算教学中数学思维能力的培养，并不是需要繁难的计算题才能达到目的，而是要重视学生对数的观察、理解、分析、实验、猜测过程的体验。”

周慧芳老师设计的教学案例《异分母分数加减法练习》，主题立意很鲜明----“在计算教学中较好的体现数学思想方法，培养学生的数学思维能力”。笔者认为，这样一个案例，较好的体现了计算教学的价值，没有繁琐的计算，更多的体现了较高的思考价值和思维含量。

（1）数学思想方法的有机渗透，培养学生的数学思维能力。

所谓“思想”，就是理性认识。理性认识从哪里来？感性认识是基础。《异分母分数加减法练习》案例中，教师让学生通过计算与观察+ 、+ 、+ 、+ 等算式和它们的得数，分析数的特征，发现存在的规律，大胆作出猜想，提升为用字母表示

+ = ，用非常谨慎的科学探究方法----验证来进行合作探究自己的猜想，对学生的学习能力是一种挖掘，给学生以科学研究方法的启蒙，思维严谨，强调验证、提升（用字母表示数量关系）。接下来的类比猜想- = ，问题从学生学习的具体实例中来，在已有的结论上进行联想类比，更是将验证层层推进，学生的思维一直处于积极主动的探索思考状态，学生的猜想、验证始终是一种自主探索的过程，让学生经历从直观到抽象，从操作到经验的过程，对学生的后续学习有较好的激励作用。

（2）数学史和拓展题的引入，激发学生对数学的好奇心和学习兴趣。

在一些名师的教学观念中，数学课堂要有文化品位，就要融入数学史。数学史与数学教学的具体结合，一直是一些专家学者研究的目标。《异分母分数加减法练习》案例设计中，教师较好的引入“埃及分数”的数学史知识。“学者无心，教者有意”这样的教学设计，无疑能吸引学生，激发他们对数学知识背后的故事的好奇心与探究兴趣，真正体会到数学与生活的密切联系，体验数学来源于生活的真实情景。拓展题的出现，更是将课堂教学延伸到了学生的学习生活中，延伸到了课外，让学生带着问题去思考，使学生的思维处于意犹未尽的状态，更加能激起学生的学习兴趣与探究欲望，在不经意之处有新的发现，对学生的后续学习起到了积极的作用。 （长沙高新区虹桥小学 鲁敏